Beräkna acceleration med begynnelsehastighet och sträcka

Hej! Idag ska vi titta på en uppgift som handlar om en bil i rörelse som sedan accelererar. I ett annat exempel beräknar vi accelerationen då bilen initialt står stilla.

En bil färdas med hastigheten 13 m/s, när föraren trampar ner gaspedalen. Efter 158 meter visar bilens hastighetsmätare 18 m/s. Hur stor är accelerationen? Och hur lång tid tog det?

Metod för att beräkna acceleration

I formelsamlingen finns det ett tidsoberoende samband mellan hastighet, begynnelsehastighet, acceleration och sträcka. Vi använder denna för att räkna ut accelerationen. Därefter vet vi att hastighet kan skrivas som acceleration multiplicerat med tiden, och ur denna kan vi lösa ut tiden.

Det antagandet vi gör här är att accelerationen är konstant under hela förloppet. Därför kommer vårt svar att bestå av medelaccelerationen.

Utförande

Sambandet mellan hastighet, begynnelsehastighet, acceleration och sträcka finner vi i vår formelsamling, och skrivs som

    \[v^2 = {v_0}^2 + 2as.\]

Vår begynnelsehastighet, v_0 vet vi är 13~m/s. Efter accelerationen är hastigheten v=18~m/s. Sträckan är också känd s=158~m. Således finns en ekvation med en okänd som vi kan lösa. Vi börjar med att subtrahera bort {v_0}^2 från båda sidorna.

    \[v^2 - {v_0}^2 = 2as\]

Division med 2s på båda sidorna lämnar accelerationen ensam.

    \[a = \frac{v^2 - {v_0}^2}{2s}.\]

De numeriska värdena förs in och acceleration beräknas.

    \[a = \frac{18^2-13^2}{2\cdot158} = 0.490506...\approx0.49~m/s^2.\]

För att beräkna tiden nyttjar vi att hastigheten är acceleration multiplicerat med tiden, finns sannolikt i din formelsamling. Viktigt att inte tappa bort v_0 här. Sambandet skrivs som

    \[v = v_0 + at.\]

Här behöver vi lösa ut tiden t. Vi inleder med att subtrahera v_0.

    \[v - v_0 = at\]

Division med accelerationen a lämnar tiden t ensam.

    \[t = \frac{v-v_0}{a}\]

Med hjälp av att vi nu vet accelerationen kan vi få ett numeriskt värde på tiden.

    \[t = \frac{18-13}{0.490506...} = 10.1935... \approx 10~s.\]

Svar: Medelaccelerationen är 0.49 m/s2 och detta sker under 10 sekunder.

Alternativ metod för att beräkna acceleration

Det är möjligt att lösa ovanstående uppgift på flera sätt. Ett alternativt sätt är att använda en formel för sträckan vid konstant acceleration som innehåller tiden, samt uttrycket ovan att hastigheten är lika med accelerationen multiplicerat med tiden. Med hjälp av formeln för sträcka vid konstant acceleration,

    \[s = s_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\]

och formeln för hastighet

    \[v = v_0 + at\]

Kan vi bygga ett ekvationssystem som exempelvis en miniräknare kan lösa snabbt. Det går givetvis att lösa förhand också. Vi för in de numeriska värden, och adderar här att s_0=0 då vi utgår från att stället föraren trampar ner gaspedalen är nollpunkten.

    \[\begin{cases} 158 = 0 + 13t + \frac{at^2}{2}\\ 18 = 13 + at \end{cases}\]

Löses ekvationssystemet fås givetvis samma svar som ovan, medelaccelerationen är 0.49 m/s2 och tiden det tar är 10 sekunder. Denna metod kan vara att föredra om exempelvis v^2 = {v_0}^2 + 2as fallit ur minnet och saknas i utdelad formelsamling. Välj den metod som du tycker är bäst.