Påskdagen – Mer om påskhararna

Hej! Idag är det påskdagen, och vi fortsätter att räkna kring Påskharen och den nya modellen, Påskharen 3000. Besök gärna påskaftonen för att ta del av gårdagens uppgifter kring påskhararna. Gårdagens uppgifter och grafen vi behöver hittar du här.

Frågor för påskdagen

  • Finns det någon tidpunkt då Påskharen 3000s acceleration är lika stor som Påskharens? Vilken isåfall?
  • Vilken modell på påskharen har kommit längst efter 80 sekunder?

Finns det någon tidpunkt då hararna har samma acceleration?

Den första Påskharen har en acceleration på 0.25 m/s2 i början. Om vi kan finna en tidpunkt då accelerationen för Påskharen 3000 är detta värde har vi löst uppgiften. Accelerationen är lutningen i ett hastighets-tidsdigram och den kan vi få fram genom att derivera. Detta har vi gjort i gårdagens sista uppgift.

    \[a_{3000}(t) =\frac{23}{20\pi\Big(1+\frac{t^2}{400}\Big)}\]

Vi söker en tidpunkt då accelerationen är 0.25.

    \[0.25 =\frac{23}{20\pi\Big(1+\frac{t^2}{400}\Big)}\]

Multiplicera upp faktorn som innehåller tiden, och dividera ner 0.25.

    \[1+\frac{t^2}{400} = \frac{23}{0.25\cdot20\pi}\]

Nästan framme.

    \[t =\pm \sqrt{400\cdot\Big(\frac{23}{0.25\cdot20\pi} - 1\Big)}\]

Vi utvärderar helt numeriskt.

    \[t = \pm 13.6268\]

Vi är bara intresserade av den positiva lösningen.

Vid ungefär 13.6 sekunder har de båda påskhararna samma acceleration. Om vi tittar på figur 1 från påskaftonen och föreställer oss en tangent vid tiden 13.6 sekunder så är den parallell med Påskharens i detta ögonblick.

Vilken modell på påskharen har kommit längst efter 80 sekunder?

Vi kommer ihåg att sträckan är arean under kurvan i ett hastighets-tidsdiagram. Arean kan vi få fram genom vanliga formler för trianglar och rektanglar eller så kan vi integrera. Givetvis kommer vi behöva använda båda metoderna.

Arean under Påskharens kurva

Arenan under Påskharens kurva är en triangel och ett rätblock. Vi kommer ihåg att triangelns area är basen multiplicerat med höjden dividerat med 2. Rätblockets area är basen multiplicerad med höjden.

    \[s_1 = \frac{40\cdot10}{2} + (80-40)\cdot10 = 600~\text{m}.\]

Påskharen har således sprungit 600 meter på 80 sekunder.

Arean under Påskharen 3000s kurva

Då Påskharen 3000 har en hastighet som är given som en funktion kan vi få fram arean under kurvan genom att integrera.

    \[s_{3000} = \int_{0}^{80} \frac{23}{\pi}\arctan\Big(\frac{t}{20}\Big) dt\]

Ovan är en otroligt knepig integral att göra för hand, och det är högst sannolikt att du aldrig stött på den under din gymnasietid. Då är det tur att den primitiva funktionen är given i uppgiften (Länk till påskafton). Vi identifierar koefficienter och sätter upp vår integral från 0 till 80 sekunder.

    \[s_{3000} = \Bigg[\frac{23}{\pi}\Bigg(t\arctan\Big(\frac{t}{20}\Big)-\frac{1}{2}20\ln(20^2+t^2)\Bigg)\Bigg]_{0}^{80}}\]

Gränserna för integralen sätts in i den primitiva funktionen.

    \[ \begin{split} $$s_{3000} = \frac{23}{\pi}\Bigg(80\arctan\Big(\frac{80}{20}\Big)-\frac{1}{2}20\ln(20^2+80^2)\Bigg) - \\ \frac{23}{\pi}\Bigg(0\arctan\Big(\frac{0}{20}\Big)-\frac{1}{2}20\ln(20^2+0^2)\Bigg) \end{split} \]

Vi kan utvärdera term för term inuti alla parenteser.

    \[ \begin{split} $$s_{3000} = \frac{23}{\pi}(106.065 - 88.2468) - \\ \frac{23}{\pi}(0-59.9146) \end{split} \]

Om allt utvärderas numeriskt har vi nått den slutgiltiga sträckan.

    \[s_{3000} = 569~\text{m}.\]

Påskharen 3000 har kommit 569 meter på 80 sekunder. Den gamla Påskharen har således kommit längre. I morgon på annandag påsk fortsätter vi när vi svarar på den allra sista frågan. Vid vilken tidpunkt har påskhararna sprungit lika långt?