Kraftmoment

Kraftmoment, ibland benämnt som vridmoment.

Ett exempel på ett kraftmoment är en skiftnyckel som vrider ska vrida en skruv. Där finns en rotationspunkt A, en arm, l, och en vinkelrät kraft F. Med arm avses avståndet mellan vridpunkten och den vinkelräta kraften.

    \[M = Fl\]

Figur 1. Kraftmoment, längd med en vinkelrät kraft.

Figur 1. Kraftmoment, längd med en vinkelrät kraft.

 

Vi använder bokstaven M för kraftmoment, men det är även vanligt att den grekiska bokstaven tau, \tau används. Avståndet l är ibland utbytt till d eller r i en del samlingar.

Enheten är Newtonmeter

Enheten för kraftmoment är Newtonmeter, dvs 1 Nm.

När vi talar om kraftmoment är inte en Newtonmeter lika med en Joule, som är det är i arbete.

Ett kraftmoment innehåller en kraft som appliceras vinkelrät mot en längd, medan ett arbete är en kraft multiplicerad med en sträcka, där kraften och sträckan har samma riktning.

Exempel på kraftmoment

En skruv skall dras åt. På en skiftnyckel anbringas en kraft på 50 N vinkelrät 0.4 meter från rotationspunkten. Hur stort är kraftmomentet?

Vi nyttjar formeln rakt av och sätter in våra numeriska värden.

    \[M = Fl = 50\cdot0.4 = 20~\text{Nm.}\]

Ett annat vanligt kraftmoment är det som uppstår då ett barn sitter på en gungbräda. Om två barn med samma massa sitter på lika långt avstånd från mitten är gungbrädan i jämvikt.

Kraftmoment och jämvikt

För att ett föremål ska vara i jämvikt, exempelvis brädan i en gungbräda gäller

    \[\text{Kraftmoment medurs} = \text{Kraftmoment moturs.}\]

En annat sätt att skriva detta är

    \[\sum M = 0.\]

Vilket i text blir att summan av alla kraftmoment kring en vald rotationspunkt är 0. Dessa två ger exakt samma svar, skillnaden är att i den undre måste en positiv rotationsriktning väljas. Vanligast är att positiv riktning väljs medurs. Det kan ju tyckas onödigt med den undre formeln då den kan lite mer komplicerad, men det finns en poäng långt senare i fysikkurser då nollan vid icke jämvikt kan ersättas med andra storheter som rör rotation.

Vi demonstrerar båda formlerna nedanför i ordning.

Exempel på jämvikt

Anton är och gungar gungbräda med sin lillasyster Felicia. Felicia har en massa på 32 kg och hon sätter sig 2.1 meter från rotationspunkten på gungbrädan. Om Anton har en massa på 75 kg, var skall han sätta sig för att jämvikt skall råda?

Vi ritar ut en bild över situationen. Möjligheten ges här att välja på vilken sida av gungbrädan respektive person sitter på.

Figur 2. Anton och Felicia på gungbrädan.

Figur 2. Anton och Felicia på gungbrädan.

För att jämvikt skall råda måste jämviktsvillkoret vara uppfyllt, dvs att kraftmomenten medurs är lika med kraftmomentet moturs.

Vi tecknar kraftmomentet medurs först

    \[\text{Kraftmoment medurs} = F_Fl_F.\]

Därefter tecknar vi kraftmomenten moturs

    \[\text{Kraftmoment moturs} = F_Al_A.\]

Dessa sätts lika med varandra.

    \[F_Fl_F = F_Al_A\]

Kraften som de påverkar gungbrädan med måste givetvis vara tyngdkraften. Vi substituerar in den klassiska F=mg istället. Vi ber om ursäkt att det blir lite kladdigt i formeln nedan.

    \[m_Fgl_F = m_Agl_A\]

Tyngdaccelerationen kan strykas ur båda leden.

    \[m_Fl_F= m_Al_A\]

Det vi söker är l_A, och därför dividerar vi båda sidorna med m_A.

    \[l_A = \frac{m_Fl_F}{m_A}\]

Med numeriska värden insatta erhålls avståndet Anton skall sätta sig från rotationspunkten för jämvikt,

    \[l_A = \frac{32\cdot2.1}{75} = 0.896 \approx 0.90~\text{m.}\]

Gungbräda med tre personer

Tre personer sitter i jämvikt på en gungbräda. Person 1 sitter på vänstersidan, 1.4 meter från rotationspunkten med en massa på 65 kg. På högersidan sitter person 2 med ett avstånd på 0.9 meter från rotationspunkten. Bakom person 2 sitter person 3 med en massa på 36 kg med avståndet 1.2 meter från rotationspunkten. Vilken massa har person 2?

Vi inleder med att rita en bild över situationen. I vänstra hörnet har vi markerat vad positiv riktning är, dvs, medurs är ett positivt moment och då är givetvis moturs är ett negativt. Vi talar även om kring vilken som är rotationspunkten, i det här fallet A.

Figur 3. Tre personer på gungbräda.

Figur 3. Tre personer på gungbräda.

Då jämvikt råder gäller att summan av kraftmomenten är noll. Strategin här är att vi vet att kraftmomenten personerna uträttar beror på tyngdkraften, och ur någon tyngdkraft borde vi kunna lösa ut den sökta massan.

    \[\sum M = 0\]

Kraftmoment moturs är negativa, och kraftmoment medurs är positiva.

    \[- F_1l_1 + F_2l_2 + F_3l_3 = 0\]

Alla tyngdkrafter ersätts med F=mg. Här är det tydligt att det är m_2 vi eftersöker.

    \[- m_1gl_1 + m_2gl_2 + m_3gl_3 = 0\]

Tyngdaccelerationen divideras bort då den ingår i alla termer.

    \[- m_1l_1 + m_2l_2 + m_3l_3 = 0\]

Vi adderar och subtraherar för att få termen med m_2 ensam på vänsterledet.

    \[m_2l_2 =  m_1l_1 - m_3l_3\]

Divsion med l_2 ger oss slutligen ett utryck för massan på person 2.

    \[m_2 = \frac{m_1l_1 - m_3l_3}{l_2}\]

Med de numeriska värdena insatta,

    \[m_2 = \frac{65\cdot1.4 - 36\cdot1.2}{0.9} \approx53~\text{kg.}\]

Exempel på kraftmoment

Under hängande skylt beräknar vi med hjälp av kraftmoment kraften i en kätting som håller upp en skylt.