Hej! Idag kommer vi lösa följande uppgift.
En bil håller hastigheten 36 km/h när bilföraren trycker ner gaspedalen. Bilen får då en acceleration på 1.5 m/s2. Om bilen sedan gaspedalen trycktes ner färdats 240 meter, hur lång tid var gaspedalen nedtryckt?
Metoden här är att vi känner till sträckaformeln, om vi inte gör det kan vi titta i vår 5formelsamling. Alla formlersamlingar för gymnasial fysik bör ha nedanstående i någon form.
\[ s = v_0t + \frac{at^2}{2}\]
Vi känner till sträckan, den ursprungliga hastigheten och accelerationen. Detta kommer ge oss en andragradsekvation för att tiden som kan lösas med hjälp av exempelvis pq-formeln eller en miniräknare som klarar ekvationer.
Vi måste först konvertera hastigheten till meter per sekund.
\[ 36~km/h = \frac{36}{3.6} =10~m/s\]
Ekvationen som skall lösas är således
\[ 240 = 10t + \frac{1.5t^2}{2}\]
Om detta löses med hjälp av en räknare erhålls två rötter, nämligen
\[ \begin{matrix} t_1 = -25.7571... \\ t_2 = 12.4238... \end{matrix}\]
Vi förkastar den negativa roten då tiden inte kan vara negativ.
Svar: Gaspedalen var intryckt i 12 sekunder.
Alla har inte en miniräknare som klarar ekvationer alternativt har som krav att det måste gå att lösa med handarbete. Vi går igenom detta nedan.
Vi vet sedan gymnasiets matematik 2 kurs att
\[ x^2+px+q=0\]
har lösningarna
\[ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}.\]
Nu är metoden sådan att vi kommer skriva om vår ekvation så att den matchar PQ-formeln.
\[ 240 = 10t + \frac{1.5t^2}{2}\]
Om \(240\) subraheras från båda leden,
\[ 0 = 10t + \frac{1.5t^2}{2} - 240\]
Om vi sedan multiplicerar allt med \(2\) för att få bort nämnaren i andragradsfaktorn.
\[ 0 = 20t + 1.5t^2 - 480\]
Division med \(1.5\) av alla termer och vi är i hamn med uttrycket.
\[ 0 = \frac{20}{1.5}t + t^2 - 320\]
För exakt likhet med pq-formeln, kasta om termerna något.
\[ 0 = t^2+ \frac{20}{1.5}t - 320\]
Lösningen till denna är givetvis samma som när en miniräknare använts.