Beräkna tiden ur sträckaformeln

Hej! Idag kommer vi lösa följande uppgift.

En bil håller hastigheten 36 km/h när bilföraren trycker ner gaspedalen. Bilen får då en acceleration på 1.5 m/s2. Om bilen sedan gaspedalen trycktes ner färdats 240 meter, hur lång tid var gaspedalen nedtryckt?

Metod

Metoden här är att vi känner till sträckaformeln, om vi inte gör det kan vi titta i vår formelsamling. Alla formlersamlingar för gymnasial fysik bör ha nedanstående i någon form.

    \[s = v_0t + \frac{at^2}{2}\]

Vi känner till sträckan, den ursprungliga hastigheten och accelerationen. Detta kommer ge oss en andragradsekvation för att tiden som kan lösas med hjälp av exempelvis pq-formeln eller en miniräknare som klarar ekvationer.

Utförande

Vi måste först konvertera hastigheten till meter per sekund.

    \[36~km/h = \frac{36}{3.6} =10~m/s\]

Ekvationen som skall lösas är således

    \[240 = 10t + \frac{1.5t^2}{2}\]

Om detta löses med hjälp av en räknare erhålls två rötter, nämligen

    \[\begin{matrix} t_1 = -25.7571... \\ t_2 = 12.4238... \end{matrix}\]

Vi förkastar den negativa roten då tiden inte kan vara negativ.

Svar: Gaspedalen var intryckt i 12 sekunder.

Lösning med hjälp av pq-formeln

Alla har inte en miniräknare som klarar ekvationer alternativt har som krav att det måste gå att lösa med handarbete. Vi går igenom detta nedan.

Vi vet sedan gymnasiets matematik 2 kurs att

    \[x^2+px+q=0\]

har lösningarna

    \[x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}.\]

Nu är metoden sådan att vi kommer skriva om vår ekvation så att den matchar PQ-formeln.

    \[240 = 10t + \frac{1.5t^2}{2}\]

Om 240 subraheras från båda leden,

    \[0 = 10t + \frac{1.5t^2}{2} - 240\]

Om vi sedan multiplicerar allt med 2 för att få bort nämnaren i andragradsfaktorn.

    \[0 = 20t + 1.5t^2 - 480\]

Division med 1.5 av alla termer och vi är i hamn med uttrycket.

    \[0 = \frac{20}{1.5}t + t^2 - 320\]

För exakt likhet med pq-formeln, kasta om termerna något.

    \[0 = t^2+ \frac{20}{1.5}t  - 320\]

Lösningen till denna är givetvis samma som när en miniräknare använts.