Beräkna acceleration med hjälp av sträcka och tid

En traktor accelererar.

Hej! Idag ska vi ta oss an uppgiften att beräkna en bils acceleration med hjälp av sträckan och tiden. Följande problem har presenterats för oss.

En bil står initialt still vid ett rödljus. Föraren håller gaspedalen intryckt i 12 sekunder och sträckan bilen har kört är 165 meter. Hur stor är accelerationen?

Metod

Då vi antar att bilens acceleration är konstant under hela förloppet kommer vi att beräkna bilens medelacceleration. I formelsamlingen letar vi upp en formel som innehåller både sträckan, accelerationen och tiden, samt eventuellt övriga variabler vi kanske kan bli av med. Därefter kommer vi att lösa ut accelerationen med hjälp av algebra och sätta in våra numeriska värden.

Utförande

I vår formelsamlingen och hittar följande formel som behandlar sträcka vid konstant acceleration.

    \[s = s_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\]

Direkt går att förenkla genom att s_0 är 0, då vi utgår från att bilens position vid rödljusen är startpunkten. Det är också givet att bilen står stilla, därför måste v_0 också vara 0. Formeln reduceras således ner till något du kanske känner igen.

    \[s = \frac{at^2}{2}\]

Nu till nästa steg i vår metod. Accelerationen a behövs lösas ut för att få ett enkelt uttryck att sätta in de numeriska värdena i. Första steget är att förlänga båda med 2 och på så sätt få bort divisionen med 2 i högerledets nämnare.

    \[2s = at^2\]

Division med t^2 på båda sidorna av likhetstecknet kommer lämna accelerationen a ensam.

    \[a =\frac{2s}{t^2}  \]

Vi för in de numeriska värdena, s=165, och t=12 i uttrycket för acceleration.

    \[a = \frac{2\cdot165}{12^2} = 2.2916... \approx 2.3~ m/s^2\]

Svar: Bilens medelacceleration är 2.3 m/s2.

Med siffror istället för variabler

Om du ännu inte kommit till att lösa ut variabler i matematiken kan du sätta in allt i uttrycket och lösa ekvationen. Det kan gå snabbare ibland, men att felsöka i nedanstående är bra mycket jobbigare än i ovanstående lösning. Detta då alla siffror bakats ihop och det är nästintill omöjligt att veta vad som är vad ursprungligen.

Vi har uttrycket enligt ovan,

    \[s = \frac{at^2}{2}.\]

Vi för in den angivna sträckan och tiden som ges i uppgiften.

    \[165 = \frac{a12^2}{2}\]

Nu har vi en ekvation med endast en okänd. Vi expanderar ut kvadraten, 12^2=144 och dividerar den med 2.

    \[165 = a72\]

Slutligen löser vi ut den okända accelerationen a genom division med 72 på båda sidorna.

    \[a = \frac{165}{72} \approx 2.3~m/s^2.\]

Svar: Bilens medelacceleration är 2.3 m/s2.

Vi rekommenderar att i så lång utsträckning som möjligt använda metoden med variabler.