Hejhej! Idag fortsätter serien om fysik relaterad till sommarlovet. Idag kommer vi beräkna med vilken fart en badresenär slår i vattenytan om denne hoppar från en given höjd. Det finns flera sätt att gå tillväga, vi kommer visa två stycken.
Den enklaste formen om du står i hopptornet redo är att använda
\[ v = \sqrt{2gh}\]
där \(g=9.82~\text{m/s}^2\) och \(h\) är höjden på hopptornet.
Ett sätt att räkna ut vilken fart klippdykaren slår i vattnet med är med hjälp av energiprincipen. Då sätter vi att all lägesenergi ska omvandlas till rörelseenergi på vägen ner.
\[ mgh = \frac{mv^2}{2}\]
Vi stryker massorna.
\[ gh = \frac{v^2}{2}\]
Multiplicera med \(2\) på båda sidorna.
\[ 2gh = v^2\]
Nu tar vi roten ur båda leden.
\[ v = \sqrt{2gh}\]
Där \(g=9.82~\text{m/s}^2\) och \(h\) är höjden på klippan eller hopptornet.
Vi har tidigare tittat på hur man kan räkna ut hur lång lufttid man får i ett hopp från given höjd, under Hur länge är jag i luften?. Då kom vi fram till att
\[ t = \sqrt{\frac{2s}{g}}\]
där \(s\) är höjden. Vi kan lika gärna ersätta det med variabeln \(h\) för att få formlerna att stämma överens.
\[ t =\sqrt{\frac{2h}{g}}\]
Vi vet sedan tidigare att hastigheten är accelerationen gånger tiden, dvs
\[ v = at.\]
Accelerationen i detta fall är tyngdaccelerationen, så
\[ a = g.\]
Sätt in detta och uttrycket för tiden i hastigheten och vi får ett uttryck,
\[ v = g\sqrt{\frac{2h}{g}}.\]
Förläng med \(g\) inuti bråket.
\[ v = g\sqrt{\frac{2hg}{g^2}}\]
Nu kan vi stryka \(g\) ur nämnaren och framför rottecknet.
\[ v = \sqrt{2gh}\]
Lyckligtvis blev det samma som ovan.
Kabir står på sjuans hopplattform och tittar ner nervöst. med vilken fart kommer han slå i vattenytan när han hoppar? Vi använder formeln rakt av.
\[ v = \sqrt{2\cdot9.82\cdot7}\]
Ett numeriskt svar,
\[ v \approx 12 \text{m/s} \approx 42 \text{km/h}.\]
Om du glömt bort hur vi konverterar m/s till km/h kan du besöka den guiden här.
Ovanstående beräkningar är gjorda utan hänsyn till luftmotstånd. Det påverkar givetvis slutresultatet, men sannolikt finns det fler felkällor så det är ingeting vi behöver ligga sömnlösa över. Svaren bör tolkas som ett ungefärligt värde på vilket fartområde hopparen har.