Momentanhastighet

Momentanhastighet är den ögonblickliga hastigheten. Exempelvis visar en bils hastighetsmätare den momentana hastigheten. Ett annat sätt att se momentanhastighet är att se den hastigheten som ett föremål har ”precis” vid en given tidpunkt.

Formeln för momentanhastighet skrivs som

    \[v =\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\]

Där man vill att tiden ska vara så liten som möjligt, med andra ord så nära 0 som möjligt. Tecknet framför, Δ kommer från grekiska alfabetet och heter delta. Detta tecken brukar användas vid förändringar. Du kanske känner igen detta från någon matematikkurs då riktningskoefficienten beräknas i en rät linje.

Om du söker hur du deriverar fram hastigheten finner du det i exemplet längst ner.

Exempel på beräkning av momentanhastighet

En enkel konstruktion för att mäta hastigheten på en bil är att lägga ut två kablar över vägen med givet mellanrum. Då bilen passerar kabel 1 startas klockan, och då bilen passerar kabel 2 stängs klockan av.

 

För att mäta bilars momentanhastighet utanför ett bostadsområde placeras kablar med ett avstånd på 2 meter. En bil passerar dessa kablar på 0.1 sekund. Vilken hastighet visar bilens hastighetsmätare?

    \[v =\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2-0}{0.1-0} = 20 \text{~m/s.}\]

Vi kan konvertera till km/h genom att multiplicera med 3.6, bilens hastighetsmätare bör således visa

    \[v = 20\cdot3.6 = 72~\text{km/h.}\]

Momentanhastighet ur ett sträcka-tids-diagram

I figur 2 visas ett sträcka-tids-diagram vilket ofta förkortas till st-diagram. Diagrammet visar en cykels position från start under ett visst tidsintervall. Vi vill ha reda på med vilken momentanhastighet cykeln rör sig då det passerat 5 sekunder.

Figur 2. Diagram över en cykels läge efter en given tidpunkt.

Figur 2. Diagram över en cykels läge efter en given tidpunkt.

Till detta kommer vi nyttja vår formel ovan, och sätta in 2 tidpunkter som ligger nära 5 sekunder, och kika på sträckan är för dessa tider. Dessa visar vi i figur 3.

Figur 3. Diagram med tidpunkter och sträckapunkter utsatta.

Figur 3. Diagram med tidpunkter och sträckapunkter utsatta.

Vi väljer två tidpunkter som ligger i närheten av tiden vi är intresserad av. Givetvis blir det bättre desto närmare tidpunkterna ligger vid, men om vi exempelvis skulle ta två tidpunkter närmare 5 sekunder blir det svårare att avläsa sträckan.

    \[v = \frac{s_2-s_1}{t_2-t_1} = \frac{40-30}{6-4} = \frac{10}{2} = 5~\text{m/s.}\]

Vad vi får fram då är lutningen efter 5 sekunder. Denna har vi ritat ut i figur 4.

Figur 4. En rät linje dragen mellan dessa. ger momentanhastigheten.

Figur 4. En rät linje dragen mellan dessa. Lutningen på denna är momentanhastigheten.

Det blivit en mer ögonblicklig hastighet om vi valt exempelvis 4.99 sekunder som första tiden, och 5.01 sekunder som andra tiden, dessvärre hade det blivit nästintill omöjligt att avgöra en noggrann sträcka. Denna grafiska lösning kommer definitivt läsas av människor som tycker att beräkningen är horribelt för godtycklig, och det tycker författaren också. Det är snarare konceptet som är viktigt här och inte resultatet.

I det optimala fallet ska ju tidsintervallet vara 0, och då behöver vi använda andra verktyg. Detta nyttjar vi då vi deriverar fram hastigheten i exemplet nedan.

Derivera fram momentanhastighet

En nyårsrakets höjd kan beskrivas med hjälp av funktionen

    \[s(t) = 40t - 3t^2 + 0.3t^3 - 0.01t^4,~~~0 \le t \le 20.\]

Vilken höjd och vilken hastighet har nyårsraketen efter 15.0 sekunder passerat?

Höjden är rätt lätt att beräkna även om den sannolikt kräver en kalkylator. Vi sätter in in 15.0 sekunder i funktionen och beräknar

    \[s(15) = 40\cdot15 - 3\cdot15^2 + 0.3\cdot15^3 - 0.01\cdot15^4 = 431.25 \approx 430~\text{m.}\]

Nyårsraketens momentana hastighet får vi genom att derivera sträcka-tidsfunktionen. Då får vi en hastighets-tidsfunktion som

    \[v(t) = s'(t) = 40-6t+0.9t^2-0.04t^3,~~~0 \le t \le 20.\]

I denna kan vi nu sätta in 15.0 sekunder och beräkna hastigheten i exakt det ögonblicket.

    \[v(15) = s'(15) = 40-6\cdot15+0.9\cdot15^2-0.04\cdot15^3 = 17.5~\text{m/s.}\]

Efter 15.0 sekunder har nyårsraketen en hastighet på 17.5 m/s.

Om vi ritar ut funktionen kan vi visa tydligare vad som försiggår i beräkningen.

Figur 5. Funktionen i blått och dess derivata i orange i vår angivna punkt.

Figur 5. Funktionen i blått och dess derivata i orange i vår angivna punkt.

Där den blåa linjen givetvis beskriver raketens höjd över tiden och den linjen i orange visar lutningen i just den punkten, vilket är raketens hastighet.