Hej! Idag är det den fjortonde februari, och på detta datum infaller varje år alla hjärtans dag. Denna dag tänker Fysikguiden.se hylla genom att hjälpa Björn i sina resplaner ner till Paris.
Björn bor i Kiruna och har varit nere i Paris och träffat en tjej vid namn Chloé. Björn är nu hemma i gruvstaden och har två resealternativ inför alla hjärtans dag.
Det första alternativet Björn har är att flyga jetplan ner till Arlanda och där byta till ett annat jetplan som tar honom till Paris flygplats Charles de Gaulle (CDG). Sträckan mellan Kiruna och Arlanda är 920 km, och mellan Arlanda och Paris är det 1542 km. Jetplanet kan i snitt flyga i 440 knop. Björn behöver dessutom 30 minuters bytestid på Arlanda.
Alternativ två är att åka direkt från Kiruna till Paris med ett propellerplan, sträckan mellan flygplatserna är 2350 km och propellerplanet kan i snitt hålla hastigheten 321 knop.
Vilket alternativ ska Björn välja för att komma fram så snabbt som möjligt?
Det första vi vet är att vi behöver räkna fram en tid, och både sträckan och hastigheten är given. Sambandet för hur vi får fram tiden kan vi lätt ta fram med hjälp av SVT-triangeln.
Något som också noteras är att det är en salig blandning av olika enheter. Vi väljer att räkna i kilometer och timmar. Sedan tidigare, eller uppslaget i tabell vet vi att
\[ 1~\text{knop} = 1.852~\text{km/h}.\]
Detta är oftast givet i uppgiften eller finns i någon medhavd tabell. Det är en vanlig konvertering att göra, så det kan vara värt att lägga den på minnet.
30 minuter konverterar vi enklast till 0.5 timmar, då resterande tidsenheter är givet i timmar.
Med hjälp av SVT-triangeln kan vi ta reda på att tiden är sträckan dividerat med hastigheten.
\[ t = \frac{s}{v}\]
Denna formel kommer vi använda oss av när vi räknar ut tiden för båda flygalternativen.
För att göra skillnad på de olika delsträckorna och hastigheterna har vi valt att \(s_1\) är sträckan mellan Kiruna (KRN) och Arlanda (ARN), \(s_2\) är sträckan mellan Arlanda och Paris (CDG), \(s_3\) är sträckan mellan Kiruna och Paris.
Hastigheterna för jetplanet och propellerplanet skriver vi som \(v_J\) och \(v_P\).
\[ \text{Restid 1} =\underbrace{\frac{s_1}{v_J}}_{\text{KRN} \rightarrow \text{ARN}} + \underbrace{t_{\text{byte}}}_{\text{Bytestid}} + \underbrace{\frac{s_2}{v_J}}_{\text{ARN} \rightarrow \text{CDG}}\]
Alla värden ovan är givna i uppgiften,
\[ \text{Restid 1} = \frac{920}{440\cdot1.852} + 0.5 + \frac{1542}{440\cdot1.852}.\]
Termerna adderas ihop till
\[ \text{Restid 1} = 3.5213...\text{h}.\]
Propellerplanet som flyger direkt har en lite enklare restid att räkna ut. Vi behöver egentligen bara fylla i siffrorna i formeln för tid.
\[ \text{Restid 2} = \frac{s_3}{v_P}\]
Sträckan liksom hastigheten på flygplanet.
\[ \text{Restid 2} = \frac{2350}{321\cdot1.852}\]
Utvärdera numeriskt,
\[ \text{Restid 2} = 3.9529...\text{h}.\]
Jämför vi de båda tiderna ovan ser vi att det går snabbare att flyga via Stockholm. Björn bör således välja detta alternativ för att maximera tiden i Paris, givet att de båda alternativen startar samtidigt från Kiruna.